$a$ の素因数に対する一般化SNNN数列の性質
更新日：2024/4/5
$a$ と互いに素な素数 $p$ に対する一般化SNNN数列 $S_{a,b,s}$ の振る舞いは，巡回定理によって記述される．それでは，$p$ が $a$ の素因数である場合はどうなるだろうか．ここでは，一例として $$ S_{10,-16,4}=[4,24,224,2224,\cdots] $$ なる数列（ゆゆす数列）と，$a\,(=10)$ の素因数 $p=2$ について観察しよう．この数列の全ての項が $2$ で割り切れることは明らかであるが，より詳細に「$2$ で何回割り切れるか」を考えよう．ゆゆす数列の素因数分解は $$ \begin{align*} 4 &= 2^2 \\ 24 &= 2^3 \times 3 \\ 224 &= 2^5 \times 7 \\ 2224 &= 2^4 \times 139 \\ 22224 &= 2^4 \times 3 \times 463 \\ 222224 &= 2^4 \times 17 \times 19 \times 43 \\ 2222224 &= 2^4 \times 138889 \\ \end{align*} $$ となっている．素因数 $2$ の個数は $2,3,5,4,4,4,4,\cdots$ と遷移しているが，この数列に何らかの法則性を見出せないだろうか．以下では，このことついて一般的に考察する．
記号 $\nu_m(n)$ の定義と性質
まず，次の記号を導入する．
定義 整数 $m,n$ に対し，$n$ が $m$ で割り切れる回数を $\nu_m(n)$ で表す．ただし，$\nu_m(0)=\infty$ と約束する．
例
$\nu_2(4)=2,$ $\nu_2(24)=3,$ $\nu_2(224)=5,$ $\nu_2(2224)=4$.
上記の定義を数式で表すと，$k$ を自然数として $$ \nu_m(n)=k \iff n=m^k \times (\text{$m$で割り切れない整数}) $$ となる．ここで「$m$ で割り切れない」という条件を取り除くと $$ \nu_m(n)\ge k \iff n=m^k \times (\text{整数}) $$ となり，$\nu_m(n)$ に関する不等式が現れる．このことを合同式を用いて表すと，次の命題を得る．
命題 整数 $m,n$ と自然数 $k$ について $$ \nu_m(n)\ge k \iff n\equiv 0\mod{m^k}. $$
SNNN数論においては，除数を素数 $p$ とした上でこの命題を用いて「$\nu_p(n)$ に関する不等式」と「mod $p^k$ の合同式」を相互に変換することが多い．さらに，除数が素数であれば明らかに次の命題が成り立つ．
命題 素数 $p$ と整数 $x,y$ について $$ \nu_p(xy) = \nu_p(x) + \nu_p(y). $$
これらのことから，$\nu_p$ は素数の累乗を法とする合同式を取り扱う上で有用である．
演習問題
$m,n$ を整数とする．このとき，次の命題の必要十分条件を合同式で表せ（複数の合同式を用いてもよい）．
- 自然数 $k$ について $\nu_m(n) = k.$
- 整数 $k$ について $\nu_m(n)\ge k.$
$p$ で割り切れる回数の極限値
それでは，$\nu_p$ を用いて一般化SNNN数列の法 $p^k$ における振る舞いを調べよう．まずは次の補題を示す．
補題 $S_{a,b,s}$ を一般化SNNN数列，$p$ を $a$ の素因数，$k,n$ を自然数とする．このとき， $$ n\ge\frac{k}{\nu_p(a)} \implies (a-1) \cdot S_{a,b,s}(n) \equiv -b \mod{p^k}. $$
証明
$a$ の素因数が存在することから $a\neq 1$ である．よって一般化SNNN数列の一般項より $$ \begin{align*} S_{a,b,s}(n) &\equiv \frac{Da^n-b}{a-1} \quad\mod{p^k} \\ (a-1)\cdot S_{a,b,s}(n) &\equiv Da^n-b \quad\mod{p^k} \\ \end{align*} $$ である．ここで $\nu_p(a^n) = \nu_p(a) \cdot n \ge \nu_p(a) \cdot \frac{k}{\nu_p(a)} = k$ より $a^n \equiv 0\mod{p^k}$ であるから $$ (a-1)\cdot S_{a,b,s}(n) \equiv -b \quad\mod{p^k} $$ が成り立つ．$\blacksquare$
この補題は，十分大きな $n$ において，$S_{a,b,s}(n)$ を $p^k$ で割った余りがある一定値に収束することを主張する．この値が $0$ と合同であるかを調べれば，$S_{a,b,s}(n)$ が $p$ で割り切れる回数に関する情報を得られるだろう．実際，$a-1\not\equiv 0$ より，十分大きな $n$ において $$ \begin{align*} && S_{a,b,s}(n) &\equiv 0 \quad\mod{p^k} \\ &\iff& (a-1) \cdot S_{a,b,s}(n) &\equiv 0 \quad\mod{p^k} \\ &\iff& -b &\equiv 0 \quad\mod{p^k} \\ &\iff& b &\equiv 0 \quad\mod{p^k} \\ &\iff& \nu_p(b) &\ge k \\ \end{align*} $$ が成り立つ．よって，$\nu_p(b)$ が有限値であれば，十分大きな $n$ において $S_{a,b,s}(n)\equiv 0\mod{p^{\nu_p(b)}}$ かつ $S_{a,b,s}(n)\not\equiv 0\mod{p^{\nu_p(b)+1}}$ となり，$\nu_p(S_{a,b,s}(n))=\nu_p(b)$ が導かれる．また $\nu_p(b)=\infty$ であれば，どれだけ大きな $k$ に対しても余りは $0$ に収束する．したがって次の定理を得る．
定理 $S_{a,b,s}$ を一般化SNNN数列，$p$ を $a$ の素因数とする．このとき， $$ \lim_{n\to\infty}\nu_p(S_{a,b,s}(n))=\nu_p(b). $$
例
ゆゆす数列 $S_{10,-16,4}$ における素因数 $2$ の個数について，$\lim_{n\to\infty}\nu_2(S_{10,-16,4}(n))=\nu_2(-16)=4$.
なお，以上の議論から特に，$b\neq 0$ かつ $S_{a,b,s}(n)=0$ となる項が存在しない*ならば $\nu_p(S_{a,b,s}(n))$ が有界である（上限が存在する）ことが分かる．この事実は後に，SNNN素因数定理の証明において重要な役割を果たす．
*2024/4/5修正
